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@@ -325,6 +325,8 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{R^2\,\dens^{3D}_0}{2\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
+
 * *Remarques :* **$`\overrightarrow{E}=0`$ sur l'axe de révolution** $`\Delta`$ du cylindre, 
 *en accord avec les symétries* en tout point de cet axe :   
 <br>
@@ -352,6 +354,7 @@ P_1\,(M, \overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_z})\; \text{plan de symét
 
 <!--exemple2 à garder : \dens^{3D}(\rho) =  \dfrac{A}{\rho^2} -->
 
+_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
 
 * Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
    * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}=A\,\rho^2`$ et tel que $`\rho\le R`$.
@@ -463,20 +466,26 @@ $`\left.\begin{array}{l}
 \Longrightarrow`$
 **$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
 
+_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
+
 <br>
 
 -----------------------
 
 #### **3 -** Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ 
 
-* description de $`\dens`$ :
+##### Description de $`\dens`$ :
+
+. Reprenons l'**exemple du profil précédent** de densité volumique de charge $`\dens^{3D}(\rho)=A\,\rho^2`$, *mais limité au volume d'un cylindre creux* de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ :
 
 **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
 \rho\le R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
-R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
+R_{int} \le \rho\le R_{ext} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2\\
 \rho\gt R_{int} \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
+
 Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 
 ##### Théorème de Gauss en considérant 3 sous-espaces complémentaires
@@ -486,13 +495,121 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
    * sous-espace milieu $`\mathscr{E}_{mil}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}\ne 0`$ et tel que $`R_{int}\le\rho\le R_{ext}`$.
    * sous-espace extérieur $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}=0`$ et tel que $`\rho \gt R_{ext}`$
 
-à terminer
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\le R_{int}}`$** :
 
-##### Utiliser le théorème de superposition
+* Le point $`M`$ est situé dans la partie creuse non chargée du cylindre.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss $`\Ltau_G`$** est entièrement contenu *dans le sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$*. <br>     
+la charge $`Q_{int}`$ intérieure à $`\Ltau_G`$ est donc nulle : 
+<br>
+**$`\mathbf{Q_{int}=0}`$**
+
+* L'équation de Gauss donne :   
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=0}`$**   
+<br>
+Au final :  
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho_M\, h\,E=0
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}}`$**
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{R_{int}\le \rho_M\le R_{ext}}`$** :
+
+* Le point $`M`$ est situé dans la partie pleine chargée du cylindre.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss $`\Ltau_G`$** *intercepte les sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{mil}`$*.  
 
-à terminer
+* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens^{3D}\,d\Ltau+ \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{mil}} \dens^{3D}\,d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}=  \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}0\,d\Ltau+ \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{mil}} A\,\rho^2\,d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}=0 + \int_{\rho=R_{int}}^{\rho_M}\int_{z=z_0}^{z_0+h}\int_{\varphi=0}^{2\pi} A\,\rho^2\,\rho\,d\varphi\,dz\,d\rho`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}=2\pi\,A\,h\cdot \int_{\rho=R_{int}}^{\rho_M} \rho^3\,d\rho=2\pi\,A\,h\cdot\bigg[\dfrac{\rho^4}{4}\bigg]_{0}^{R_{int}}`$   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\hspace{1.2cm}=\dfrac{\pi\,A\,h}{2}\cdot\left(\rho_M^4 - R_{int}^4\right)}`$**   
 
+* L'équation de Gauss donne :   
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\cdot\left(\rho_M^4 - R_{int}^4\right)}`$**   
 <br>
+Au final :  
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho_M\, h\,E=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\cdot\left(\rho_M^4 - R_{int}^4\right)
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\rho_M^3 - \dfrac{R_{int}^4}{\rho_M}\right)
+\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho_M\gt R_{ext}}`$** :
+
+* Le point $`M`$ est situé à l'extérieur du cylindre.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss $`\Ltau_G`$** *intercepte les sous-espaces* $`\mathscr{E}_{int}`$, $`\mathscr{E}_{mil}`$* et $`\mathscr{E}_{ext}`$*.  
+
+* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $`\displaystyle= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens^{3D}\,d\Ltau+ \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{mil}} \dens^{3D}\,d\Ltau`$   
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm} + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}} \dens^{3D}\,d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}= 0+2\pi\,A\,h\cdot \int_{\rho=R_{int}}^{R_{ext}} \rho^3\,d\rho+ 0`$   
+<br>
+$`\displaystyle\hspace{1.2cm}=2\pi\,A\,h\cdot\bigg[\dfrac{\rho^4}{4}\bigg]_{R_{int}}^{R_{ext}}`$   
+<br>
+**$`\displaystyle\mathbf{\hspace{1.2cm}=\dfrac{\pi\,A\,h}{2}\cdot\left(R_{ext}^4 - R_{int}^4\right)}`$**   
+
+* L'équation de Gauss donne :   
+$`\oiint_{\mathcal{S}_G}\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=`$
+**$`\mathbf{2\pi \rho_M\,h\, E}`$**
+$`\;=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}`$
+**$`\mathbf{\;=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\cdot\left(R_{ext}^4 - R_{int}^4\right)}`$**   
+<br>
+Au final :  
+$`\left.\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=E_{\rho}(\rho)\,\overrightarrow{e_{\rho}}=E\,\overrightarrow{e_{\rho}} \\
+2\pi \rho_M\, h\,E=\dfrac{\pi\,A\,h}{2\,\epsilon_0}\cdot\left(R_{ext}^4 - R_{int}^4\right)
+\end{array}\right\}
+\Longrightarrow`$
+**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{A}{4\,\epsilon_0}\cdot\left(\dfrac{R_{ext}^4-R_{int}^4}{\rho_M}\right)
+\overrightarrow{e_{\rho}}}`$**
+
+
+##### Utiliser le théorème de superposition
+
+_figure à venir_
+
+Le **champ électrique** du *cylindre plein de même profil* (c'est l'étude du point *2*),        
+$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = A\,\rho^2 \\
+&\text{ avec }A = cste \ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0   
+\end{array}\right.`$ ,     
+est **connu** :   
+**$`\quad\left\{\begin{array}{l}
+\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,\rho_M^3}{4\,\epsilon_0}\,\overrightarrow{e_{\rho}}\text{ pour }\rho_M\le R \\
+\overrightarrow{E}=\dfrac{A\,R^4}{4\,\epsilon_0\,\rho_M}\,\overrightarrow{e_{\rho}}\text{ pour }\rho_M\gt R
+\end{array}\right.`$**
+
+_figure spécifique à venir_
+
+en cours de rédaction, à terminer
+
+* L'idée est de décomposer le cylindre creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{int}`$ comme le cylindre plein de rayon $`R=R_{ext}`$ moins le cylindre plein de rayon  $`R=R_{int}`$.... 
+
+* Le théorème de superposition permet d'exprimer le champ électrique ...
+
+_figure spécifique à venir_
+
+
 
 -----------------------------
 
@@ -501,12 +618,14 @@ Nous pouvons considérer **2 méthodes équivalentes**
 * C'est, entre autre mais pas seulement,  le cas précédent dans la limite où $`R_{int}\longrightarrow R_{ext}=R`$)    
   $`\Longrightarrow \dens^{3D} \text{ est modélisée par } \dens^{2D} `$  
   
+_schéma simplifié du profil vu en coupe à venir_
+  
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
-* **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\lt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
-\rho = R  \Longrightarrow & \dens^{2D}(\rho)=  \dens^{2D}_0=cst \ne 0 \\
-\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
+* **$`\quad\left\{\begin{array}{l}
+\rho\lt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0 \\
+\rho = R  \Longrightarrow \dens^{2D}(\rho)=\dens^{2D}_0=cst \ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho) = 0 
 \end{array}\right.`$**   
 
 * Nombre de sous-espaces à prendre en compte : 2
@@ -519,6 +638,8 @@ montrer discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ à la traversée d'une surface
 au passage 3D vers idéalisation 2D : cela aura déjà été vu juste avant dans distribution de charge a symétrie plane, faire le lien.  
 Cette discontinuité de $`\overrightarrow{E}`$ en $`\rho=R`$ fait que le champ n'est pas défini en $`\rho=R`$ dans cette modélisation, dnas cette idéalisation 2D, ce qui justifie de n'avoir considéré que les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$.
 
+_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
+
 <br>
 
 --------------------------------
@@ -545,6 +666,9 @@ Cas particulier où ils portent des charges opposées, lien avec le condensateur
 Pour aller plus loin, discuter du caractère "cas d'école" de ces distributions,
 et introduire le phénomène d'influence qui est au programme un peu plus tard, et qui a par ailleurs déjà été vu au niveau collines.
 
+_figure de l'amplitude du champ électrique en fonction de_ $`\rho`$ _à venir_
+
+