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@@ -1519,7 +1519,7 @@ $`\quad\boldsymbol{\mathbf{=\color{brown}{2\,A\cdot cos\Big(\dfrac{\varphi_1-\va
 
 
 
-#### *Interférences de 2 ondes harmoniques de même fréquence*<br>**aspect spatial**
+#### *Interférences de 2 ondes sphérique harmoniques de même fréquence*<br>**aspect spatial**
 
 <br>
 
@@ -1561,17 +1561,117 @@ _on dit aussi que les sources sont en opposition de phases._
 (car le champ homogène et isotrope) qui *ne dépend que de la distance à la source* 
 qui émet l'onde.  
 
+##### Comment décrire le phénomène ?
 
-##### Y a-t-il interférence ?
+* Dans l'exemple étudié, les amplitudes $`A_1^0`$ et $`A_2^0`$ des ondes émises par les sources $`S_1`$ et $`S_2`$ sont égales :   
+$`A_1^0 = A_2^0`$
 
-* En chaque point de l'espace, les deux ondes interfèrent selon le seul aspect temporel précédemment étudié.   
+* Le point d'observation $`C`$ est situé à une distance   
+   * $`r_1`$ de la source $`S_1`$
+   * $`r_2`$ de la source $`S_2`$.     
+Ce point étant étant quelconque de l'espace, les distances $`r_1`$ et $`r_2`$ doivent être considérées comme différentes :   
+<br>
+$`r_1\ne r_2`$
+<br>
+Dès lors, l'atténuation des ondes dans un milieu homogène et isotrope de dépendant que de la distance parcourue, au niveau du point d'observation les amplitudes $`A_1`$ et $`A_2`$ sont différentes :   
 <br>
-Il y a donc **interférence** en chaque point de l'espace, donc *sur tout l'espace*.
+$`A_1 \ne A_2`$
 
+*L'écriture des deux ondes qui interfèrent en $`C`$ est alors :   
+<br>
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_1(t) = A_1\cdot cos(\omega t  - k r_1 + \varphi_1^0)}}`$**   
+  **$`\boldsymbol{\mathbf{U_2(t) = A_2\cdot cos(\omega t  - k r_2 + \varphi_2^0)}}`$**   
+    <br>
+ et l*onde résultante* à chaque instant $`t`$ s'écrit :   
+  <br>
+  *$`\mathbf{U(t) = U_1(t) + U_2(t)}`$*.
 
+  
 ##### Comment conduire le calcul ?
 
-à faire
+* Le calcul semble compliqué parce que les amplitudes et les phases à l'origine des deux ondes qui interfèrent en $`P`$ sont différentes.   
+<br>
+Tu peux alors appliquer le  **principe de convergence** aux amplitudes et aux phases.   
+  <br>
+  ![](https://m3p2.com/fr/temporary_ins/images/principe-de-convergence-fr-bleu_L1200.jpg)   
+  <br>
+
+* Pour les amplitudes :
+
+  * Le **commun** est la **valeur moyenne des amplitudes**, soit :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{A_m = \dfrac{(A_1 + A_2)}{2}}`$**    
+
+  * Ce qui les différencie est leur *différence par rapport au commun* :   
+  <br>
+  *$`\boldsymbol{\dfrac{\Delta A}{2} = \dfrac{A_1 - A_2}{2}}`$*
+
+* Pour les phases :
+
+  * Le **commun** est la **valeur moyenne des phases** que tu peux noté $`\varphi_m`$ , soit :   
+  <br>
+  **$`\boldsymbol{\varphi_m}`$** $`\, = \dfrac{(\omega t + \varphi_1^0)+(\omega t + \varphi_2^0)}{2}`$    
+  <br>
+  $`\hspace{1.4cm}= \dfrac{2\,\omega t + \varphi_1^0 + \varphi_2^0}{2}`$   
+  <br>
+  **$`\,\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1.4cm}= \omega t + \dfrac{\varphi_1^0 + \varphi_2^0}{2}}}`$**   
+
+  * Ce qui les différencie est leur *différence par rapport au commun* :   
+  <br>
+  *$`\boldsymbol{\dfrac{\Delta\varphi}{2}}`$* $`\, = \dfrac{(\omega t + \varphi_1^0) - (\omega t + \varphi_2^0)}{2}`$   
+  <br>
+  *$`\,\boldsymbol{\mathbf{\hspace{0.8cm}= \dfrac{\varphi_1^0 - \varphi_2^0}{2}}}`$*
+
+<br>
+
+* L'onde résultante à rechercher se réécrit alors :   
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{U(t) = \left(A_m + \dfrac{\Delta A}{2}\right)\cdot cos\left(\varphi_m + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1.5cm} + \left(A_m - \dfrac{\Delta A}{2}\right)\cdot cos\left(\varphi_m - \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)}}`$**   
+<br>
+Tu peux séparer les termes multipliés par $`A_m`$ de ceux multipliés par $`\dfrac{\Delta A}{2}`$ :   
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{U(t)}}`$**
+$`\;=A_m\left[cos\left(\varphi_m+\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right) + cos\left(\varphi_m-\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right]`$
+$`\;\;+\dfrac{\Delta A}{2}\left[cos\left(\varphi_m+\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right) - cos\left(\varphi_m-\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right]`$
+
+<br>
+
+* *En te souvenant et appliquant* les relations de trigonométrie   
+  <br>
+ *$`cos(a+b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;-\;sin\,a\,sin\,b`$*   
+ et   
+ *$`cos(a-b)\;=\;cos\,a\,cos\,b\;+\;sin\,a\,sin\,b`$*   
+ <br>
+ Tu obtiens alors :   
+ <br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{U(t)}}`$**
+$`\;=A_m\left[\left(cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} - sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right.`$
+$`\hspace{1.3cm} + \left.\left(cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} + sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right]`$
+$`\hspace{0.6cm}+\dfrac{\Delta A}{2}\left[\left(cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} - sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right.`$
+$`\hspace{1.3cm} - \left.\left(cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} + sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right]`$   
+<br>
+$`\;=A_m\left[\left(cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} - \require{cancel}\cancel{sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}}\right.\right.`$
+$`\hspace{1.3cm} + \left.\left.cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} + \require{cancel}\cancel{sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}}\right)\right]`$
+$`\hspace{0.6cm}+\dfrac{\Delta A}{2}\left[\left(\require{cancel}\cancel{cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}} - sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right.\right.`$
+$`\hspace{1.3cm} - \left.\left.\require{cancel}\cancel{cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}} - sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\right]`$    
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\;=A_m\left[2\,cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right]}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1.4cm}+\dfrac{\Delta A}{2}\left[-2\,sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right]}}`$**   
+<br>
+En remplaçant $`A_m`$, $`\dfrac{\Delta A}{2}`$, $`\varphi_m`$ et $`\dfrac{\Delta \varphi}{2}`$
+par leur expression en fonction des données de départ, tu obtiens :   
+<br>
+$`U(t) =\dfrac{A_1+A_2}{2}\left[2\,cos\,\varphi_m\;cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right]`$  
+$`\hspace{1.4cm}+\,\dfrac{A_1-A_2}{2}\left[-2\,sin\,\varphi_m\;sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\right]`$  
+<br>
+$`\hspace{0.6cm} =(A_1+A_2)\cdot cos\,\dfrac{\Delta\varphi}{2} \cdot cos\,\varphi_m`$  
+$`\hspace{1.4cm}-\,(A_1-A_2)\cdot sin\,\dfrac{\Delta\varphi}{2}\cdot sin\,\varphi_m`$  
+<br>
+**$`\boldsymbol{\mathbf{U(t)=(A_1+A_2)\times\, cos\left(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right)}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1,4cm}\times\, cos\left(\omega t + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\right)}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1.0cm}-(A_1-A_2)\cdot sin\left(\dfrac{\varphi_1-\varphi_2}{2}\right)}}`$**
+**$`\boldsymbol{\mathbf{\hspace{1,4cm}\times\, sin\left(\omega t + \dfrac{\varphi_1+\varphi_2}{2}\right)}}`$**   
 
 
 ##### Y a t-il des lieux d'interférence totalement destructive ?