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@@ -132,9 +132,10 @@ $`\displaystyle\quad=0 + \iint_{\mathcal{S}_{lat}} E\cdot dS + 0`$
 $`\displaystyle\quad=\iint_{\mathcal{S}_{lat}} \underbrace{E_{\rho}(\rho)}_{=\; E} \cdot \rho\,d\varphi\,dz`$   
 $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$   
 
-**$`\mathbf{\quad\quad\;\,= E \times 2\pi \rho\,h}`$**
+**$`\mathbf{\quad\quad\;\,= 2\pi \rho\, E}`$**
+
+#### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$ à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$ ?
 
-#### Comment calculer la charge $`Q_{int}`$ ?
 
 *  $`Q_{int}`$ est la charge contenue à l'intérieur de $`\mathbf{\mathcal{S}_G}`$
 
@@ -152,67 +153,73 @@ $`\displaystyle\quad= E  \iint_{\mathcal{S}_{lat}} \rho\,d\varphi\,dz`$
 
 ##### Description de $`\dens`$ :
 
-* **$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
-\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
-\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
+* **$`\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)=\dens^{3D}_0 = cste\ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
-* Nombre de sous espace à prendre en compte : 2
-   * sous-espace $`\mathcal{E}_1`$, tel que $`\rho\le R`$
-   * sous-espace $`\mathcal{E}_2`$, tel que $`\rho \gt R`$
+* Nombre de sous-espaces complémentaires à prendre en compte : 2
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{int}`$, caractérisé par $`\dens=\dens^{3D}_0`$ et tel que $`\rho\le R`$.
+   * sous-espace $`\mathscr{E}_{ext}`$, caractérisé par $`\dens=0`$ et tel que $`\rho \gt R`$
+
+<!--Cela peu paraître inutile car évident pour les professeurs, mais leurs cerveaux ont eu des années pour intégrer cela. La non conscience qu'il faille considérer différents cas selon la position du point M pour le calcul de $`Q_{int}`$  (que cela soit par manque de visualisation ou sous l'effet du stress d'un examen) est une cause non négligeable d'erreurs. D'où la volonté ici d'emphaser ce point en parlant de sous-espaces.--->
 
 ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-4-v3_L1200.jpg)   
 _figure temporaire à réviser_
 
-##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$** :
 
-**Pour $`\mathbf{\rho \le R}`$** 
+##### Calcul de la charge $`Q_{int}`$ :
 
-   ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v8_L1200.gif)   
-_figure temporaire à réviser_
+<br>
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho\le R}`$** :
 
-*  La distribution *$`\dens=\dens^{3D}_0`$ remplit tout le volume de Gauss $`\Ltau_G`$*, 
-  tous les éléments de volume $`d\Ltau`$ de $`\Ltau_G`$ sont caractérisés par la même densité de charge $`\dens^{3D}_0`$, donc      
-  <br>
-   **$`\mathbf{Q_{int}= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
+* Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'intérieur** du cylindre chargé.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** associé est *entièrement contenue dans l'espace $`\mathscr{E}_{int}`$* caractérisé par la *densité de charge constante $`\dens_0^{3D}`$*.
+
+![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-6-v8_L1200.gif)   
+_Le volume de gauss est entièrement caractérisée par même expression de densité de charge constante_ $`\dens^{3D}_0`$.
+  
+*   **$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \iiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
    <br>
 *  Commune à tous ces $`d\Ltau\; , \; \dens^{3D}_0`$ *peut donc sortir de l'intégrale* :   
   <br>
-   $`Q_{int}=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
+   $`\displaystyle Q_{int}=\dens^{3D}_0\iiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
 *  L'expression du volume d'un cylindre étant connue, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
    <br>
-**$`\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times 2\pi\,\rho \,h}`$**   
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,\rho^2\,h}\quad`$**  _(pour $`\rho\le R)`$_
+
+------------------
 <br>
 
-**Pour $`\mathbf{\rho \gt R}`$** 
+**$`\large\text{Pour  }\mathbf{\rho\gt R}`$** :
 
-   ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v7_L1200.gif)   
-_figure temporaire à réviser_
+* Le *point $`M`$ quelconque* est situé **à l'extérieur** du cylindre chargé.   
+<br>
+$`\Longrightarrow`$ le **volume de Gauss  $`\Ltau_G`$** s'étend *dans les deux sous-espaces $`\mathscr{E}_{int}`$ et $`\mathscr{E}_{ext}`$*    
 
+* **$`\mathbf{Q_{int}}`$** $\displaystyle\;=\iiint_{\Ltau_G}\dens\;d\Ltau`$   
+<br>
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_{int}\;d\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}\dens_{ext}\;d\Ltau`$    
+<br>
+$`\displaystyle\;\; = \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_0^{3D}\Ltau + \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}}0\;d\Ltau`$    
+<br>
+**$`\mathbf{\displaystyle\;\;= \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\dens_0^{3D}\Ltau}`$**
 
-à terminer
+ ![](electrostatics-gauss-cylindrical-charge-distribution-5-v7_L1200.gif)   
+_Le volume de gauss est divisé en deux domaines complémentaires :_.       
+$`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}`$ _tel que_  $`\dens=\dens^{3D}_0`$ _et_ $`\rho\le R`$,   
+$`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{ext}`$ _tel que_  $`\dens=0`$ _et_ $`\rho\gt R`$.   
 
-*  La distribution *$`\dens=\dens^{3D}_0`$ ... $`\Ltau_G`$*, 
-  ...  $`d\Ltau`$ de $`\Ltau_G`$ ... $`\dens^{3D}_0`$, ...     
-  <br>
-   **$`\mathbf{Q_{int}= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau}`$**.  
-   <br>
-*  ... $`d\Ltau\; , \; \dens^{3D}_0`$ *peut donc sortir de l'intégrale* :   
+*  Commune à tous ces $`d\Ltau`$ dans $`\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}\; , \; \dens^{3D}_0`$ , *peut donc sortir de l'intégrale* :   
   <br>
-   $`Q_{int}=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau`$.   
-*  ...  
-   <br>
-**$`\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times 2\pi\,R\,h}`$**
-
-   $`\begin{align}
-   Q_{int} &= \oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_G} \dens^{3D}_0\;d\Ltau\\
-   &=\dens^{3D}_0\oiint_{\Ltau_G\leftrightarrow\mathcal{S}_V}\;d\Ltau\\
-   &=\dens^{3D}_0\times 2\pi\,R\,h
-   \end{align}`$
-   
-
+   $`\displaystyle Q_{int}=\dens^{3D}_0 \iiint_{\Ltau_G\cap\mathscr{E}_{int}}\;d\Ltau`$.   
    
+*  Le volume d'un cylindre connu, *nul besoin de détailler le calcul intégral*,    
+   <br>
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}= \dens^{3D}_0\times \pi\,R^2\,h}\quad`$**  _(pour $`\rho\gt R)`$_
 
+<!--============================================-->
 
 ##### _2 )_ Cylindre infini de rayon $`R`$ chargé non uniformément en volume
 
@@ -223,6 +230,13 @@ _figure temporaire à réviser_
 \rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
 \end{array}\right.`$**   
 
+* Choisissons pour **exemple** la distribution :
+
+**$`\quad\left\{\begin{array}{ll}
+\rho\le R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho) \ne 0 \\
+\rho\gt R \Longrightarrow & \dens^{3D}(\rho)= 0
+\end{array}\right.`$**   
+
 ##### _3 )_ Cylindre infini creux de rayons intérieur $`R_{int}`$ et extérieur $`R_{ext}`$ et non uniformément chargé`$    
 
 * description de $`\dens`$ :
@@ -289,9 +303,3 @@ et introduire le phénomène d'influence qui est au programme un peu plus tard,
 
 
 
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